§ 7. Случайные величины

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д..

Мы будем обозначать случайные величины греческими буквами a, h, l, z, x, b, n, m, ... и т.д. Случайная величина x есть число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу эксперимента. Поскольку исходы эксперимента описываются элементарными событиями, то случайную величину рассматривают как числовую функцию x = x(w), определенную на пространстве элементарных событий W, wÎW.

Рассмотрим примеры случайных величин.

Пример 7.1. Дважды бросают симметричную монету. Пусть случайная величина x- количество появлений герба. Пространство элементарных исходов состоит из четырех элементов

W = { w₁ = (РР), w₂ = (РГ), w₃ = (ГР), w₄ = (ГГ) }.

Таблица значений случайной величины x имеет вид:

w i	w1	w2	w3	w4
x(wi)	0	1	1	2

Пример 7.2. Пусть случайная величина h равна времени ожидания трамвая на остановке. Если расписание неизвестно, но известно все же, что интервал времени между приходами трамваев не превышает Т, то значения случайной величины h принадлежат отрезку (0,Т]. u

З а м е ч а н и е. Однако не любые функции, определенные на W, можно рассматривать в качестве случайных величин. В дальнейшем нам надо будет отвечать на вопрос: какова вероятность того, что значения случайной величины x(w) Î В - тому или иному множеству на числовой прямой. Поэтому мы должны быть уверены, что множество

{ w: x(w) Î В } Î W принадлежит s - алгебре случайных событий, только в этом случае можно рассматривать Р{ w: x(w) Î В }. Оказывается для этого достаточно, чтобы для каждого интервала ( , х) множество { w: x(w) Î(- ¥ , х) } = { w: x(w) < х} принадлежало s - алгебре Á .

Определение 7.1. Пусть {W, Á , Р} - вероятностное пространство. Всякая действительная функция x = x(w), определенная на W, такая, что для каждого действительного х: { w: x(w) < х} Î Á (7.1) называется случайной величиной.

Условие (7.1) называется измеримостью x = x(w) относительно

s - алгебры Á .

Во многих задачах нет необходимости рассматривать случайные величины как функции от элементарного события, а достаточно знать лишь вероятности любых событий, связанных со случайной величиной, т.е. закон распределения случайной величины. Говорят, что закон распределения случайной величины x задан, если для любого множества действительных чисел В, являющегося объединением или пересечением конечного или счетного числа промежутков, задана вероятность Р{ w: x(w) Î В } события, состоящего в том, что x(w) Î В.

Определение 7.2. Функция действительной переменной х, хÎR=(), определенная равенством

F_x(х) = Р{ w: x(w) < х} = Р{ x< х }, (7.2)

называется функцией распределения случайной величины x(w) .

Теорема 7.1. (Свойства функции распределения).

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0 £ F_x(х) £ 1;

2. Если х1 < х2, то F_x(х1) £ F_x(х2), то есть F_x(х) - неубывающая функция;

3. F_x(х) = 1; F_x(х) = 0.

4.F_x(х) = F_x(х₀) , то есть F_x(х) - непрерывна слева.

5. Р( х₁ £ x < х₂ ) = F_x(х₂) - F_x(х₁).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. В силу определения 7.2, F_x(х) = Р{ x< х }, а из Р.1 и следствия 3.3 следует, что для любого события 0 £ Р(.) £ 1, следовательно, и 0 £ F_x(х) £ 1.

2. Так как { x < х1 } Ì {x < х2 } при х1 < х2 , то в силу следствия 3.2

Р{ x < х1 } £ Р{x < х2 }, отсюда следует F_x(х1) £ F_x(х2).

3. Докажем, что F_x(х) = 0. Рассмотрим последовательность событий

{ x < х1 } É {x < х2 } É ... É {x < х_n } É ... , где х1 > х2 > ... > хn > ... , (), тогда {x < хn } = Æ и согласно непрерывности

Р{x < хn } = F_x(х) = 0.

Переходом к противоположным событиям доказывается

F_x(х) = 1 (самостоятельно).

5. Так как {x < х2 } = { x < х1 } È ( x Î [х1 ; х2) ), то согласно Р.3

Р{x < х2 } = Р{ x < х1 } + Р{ х1 £ x < х2 }. Отсюда и в силу 7.2 находим

Р( х1£ x < х2 ) = F_x(х1) - F_x(х2). ¨

В оглавление